函数单调性与奇偶性

概要：可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令 比较 得出等式 ,再令 ,得到 ,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在 ,使 与 不等呢?(可用课件帮助演示让 动起来观察,发现结论,这样的 是不存在的)从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 ,都有 成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.(1) 偶函数的定义:如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做偶函数.(板书)(给出定义后可让学生举几个例子,如 等以检验一下对概念的初步认识)提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出 或 的图象让学生观察研究)学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.(2) 奇函数的定义: 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数.(板书)(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)例1. 判断下列函数的奇偶性(板书)(1) ; (2)

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可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令 比较 得出等式 ,再令 ,得到 ,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在 ,使 与 不等呢?(可用课件帮助演示让 动起来观察,发现结论,这样的 是不存在的)

　　从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 ,都有 成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.

　　(1) 偶函数的定义:如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做偶函数.(板书)

　　(给出定义后可让学生举几个例子,如 等以检验一下对概念的初步认识)

　　提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出 或 的图象让学生观察研究)

　　学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.

　　(2) 奇函数的定义: 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数.(板书)

　　(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)

　　例1.  判断下列函数的奇偶性(板书)

　　(1) ;              (2) ;

 　　(3) ;　　　 ;

　　(5) ;  (6) .

　　(要求学生口答,选出1-2个题说过程)

　　解: (1) 是奇函数.(2) 是偶函数. 

　　(3) , 是偶函数.

　　前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证 与 之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?

　　学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明 与 不等.如 即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)

　　从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的 = 不能经受任意性的考验,当 时,由于 ,故 不存在,更谈不上与 相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.

　　教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?

　　可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.

　　(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)

　　由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.

　　经学生思考,可找到函数 .然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?

　　例2.  已知函数 既是奇函数也是偶函数,求证: .(板书)   (试由学生来完成)

　　证明: 既是奇函数也是偶函数,

　　 = ,且 ,

　　 = .

　　 ,即 .

　　证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现, 只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 , , , ,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类

　　(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: (板书)

　　例3.  判断下列函数的奇偶性(板书)

　　(1) ;       (2) ;   (3) .

　　由学生回答,不完整之处教师补充.

　　解: (1)当 时, 为奇函数,当 时, 既不是奇函数也不是偶函数.

　　(2)当 时, 既是奇函数也是偶函数,当 时, 是偶函数.

　　(3) 当 时, 于是 ,

　　当 时, ,于是 = ,

　　综上 是奇函数.

　　教师小结 (1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当 检验 ,并不能说明 具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须 均有 成立,二者缺一不可.

三. 小结

　　1. 奇偶性的概念

　　2. 判断中注意的问题

四. 作业 略

五. 板书

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