不等式的证明(一）

概要：教学目标（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯．教学建议（一）教材分析1．知识结构2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题选择适当的证明方法．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．由于 ，因此，证明 ，可转化为证明与之等价的 ．这种证法就是求差比较法．由于当 时， ，因此，证明 可以转化为证明与

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教学目标

　　（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
　　（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；
　　（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；
　　（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；
　　（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；
　　（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯．

教学建议

（一）教材分析

　　1．知识结构

　　

　　2．重点、难点分析

　　重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；

　　难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；

　　②综合性问题选择适当的证明方法．

　　（1）不等式证明的意义

　　不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．

　　（2）比较法证明不等式的分析

　　①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．

　　②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

　　由于 ，因此，证明 ，可转化为证明与之等价的 ．这种证法就是求差比较法．

　　由于当 时， ，因此，证明 可以转化为证明与之等价的 ．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式 时，一定要注意 的前提条件．

　　③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”．

　　其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．

　　变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少．

　　变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式．或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等．　　总之．能够判断出差的符号是正或负即可．

　　④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明．

　　（3）综合法证明不等式的分析

　　①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．

　　②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式．

　　③综合法证明不等式的逻辑关系是：

… ．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）

　　④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键．

　　（4）分析法证明不等式的分析

　　①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．

　　有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．

　　②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．

　　③用分析法证明不等式的逻辑关系是：

… ．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）

　　④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词．如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等．

　　⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效．

　　（5）关于分析法与综合法

　　①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．

　　②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论 已知．

　　综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知 结论．

　　③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．

　　综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．

　　④各有其优缺点：

　　从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论．

　　从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．

也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．

　　⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．

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