不等式的证明（二）

概要：第二课时 教学目标1．进一步熟练掌握比较法证明不等式；2．了解作商比较法证明不等式；3．提高学生解题时应变能力.教学重点 比较法的应用教学难点 常见解题技巧教学方法 启发引导式教学活动（一）导入新课（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评．（学生活动）思考问题，回答．［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用．（板书课题）设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评．（学生活动）尝试解决问题． [问题]1．化简 2．比较 与 （ ）的大小．（学生解答问题） ［点评］①

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第二课时

教学目标

　　1．进一步熟练掌握比较法证明不等式；

　　2．了解作商比较法证明不等式；

　　3．提高学生解题时应变能力.

教学重点  比较法的应用

教学难点  常见解题技巧

教学方法  启发引导式

教学活动

　　（一）导入新课

　　（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评．

　　（学生活动）思考问题，回答．

　　［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？

　　2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？

　　3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？

　　[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用．（板书课题）

　　设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索，建立新知】

　　（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评．

　　（学生活动）尝试解决问题．

　　 [问题]

　　1．化简

　　2．比较 与 （ ）的大小．

　　（学生解答问题）

 　　［点评］

　　①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化．

　　②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小．

　　设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系．

　　【例题示范，学会应用】

　　（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程．

　　（学生活动）分析，研究问题．

　　［字幕］例题3  已知a，b是正数，且 ，求证

 　　［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形．

　　证明：（见课本）

　　［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法．此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范．

　　[字幕]例4试问： 与 （ ）的大小关系．并说明理由．

　［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号．

　　解：

　　因为 ，所以 ，

　　若 ，则   所以 ．

　　即

　　若 ，则 所以 ．

　　即

　　若 ，则 所以 ．

　　即

　　综上所述： 时，

                  时，

                  时，

　　［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法．要理解为什么分类，怎样分类．分类时要不重不漏．

　　［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点．甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点．

　　[分析]设从出发地点至指定地点的路程为 ，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为 ， ，要回答题目中的问题，只要比较 、 的大小就可以了．

　　解：（见课本）

　　［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题．要培养自己学数学，用数学的良好品质．

　　设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法．培养学生应用知识解决实际问题的能力．

　　【课堂练习】

　　（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题．

　　（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

　　［字幕］练习：1．设 ，比较 与 的大小．

　　 2．已知 ， ，求证

　　设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用．灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号．反馈信息，调节课堂教学．

　　【分析归纳、小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

　　1．比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法．

　　2．对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

　　3．会用分类讨论的方法确定差式的符号．

　　4．利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤．②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答．

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