构造辅助 圆，交点立显现

概要： 在解一些几何问题时，常会遇到一些用常规方法很难解决的问题。这时，如果构造适当的图形来给以辅助，往往能促使问题转化，使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新构造的环境中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题，这种解题方法称为构造法。 对于在已知条件的线上找点与已知点构成一定的角的问题，如果能根据题目的题设和结论，构造出符合题意特征的辅助圆，即把题目中的固定角转化为圆的圆周角问题，就能使问题得以顺利解决，这种方法利用数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，它不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力。请看下面的两个例题： 例1：（06东营）如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是 （A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）不存在 分析：要在直线l上找点P使∠APB=30°，可以构造以AB为边作等边三角形ABO，则∠AOB=60°，然后以O为圆心，AB为半径，作圆O，如图，∵△A

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    在解一些几何问题时，常会遇到一些用常规方法很难解决的问题。这时，如果构造适当的图形来给以辅助，往往能促使问题转化，使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新构造的环境中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题，这种解题方法称为构造法。
 
    对于在已知条件的线上找点与已知点构成一定的角的问题，如果能根据题目的题设和结论，构造出符合题意特征的辅助圆，即把题目中的固定角转化为圆的圆周角问题，就能使问题得以顺利解决，这种方法利用数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，它不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力。请看下面的两个例题：
 
例1：（06东营）如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是
 
（A）3个    （B）2个  （C）1个       （D）不存在
 

 
分析：要在直线l上找点P使∠APB=30°，可以构造以AB为边作等边三角形ABO，则∠AOB=60°，然后以O为圆心，AB为半径，作圆O，如图，∵△ABO为等边三角形∴OB∥l，∴点O到l的距离d<r,所以点O与直线l有两个交点，P1、P2。
 

 
解：此题如果以AB为边作等边△ABO,再以点O为圆心，AB为半径作圆交直线l与点P1、P2，∵∠AOB=60°∴∠AP1B=30°，∠AP2B=30°所以满足条件的点P的个数是两个，分别为P1、P2。
 
例2：（06陕西）如图，矩形ABCG（的顶点P在线段BD上移动，使为直角的点P的个数是    【 C 】
 
    A．0     B．1     C．2     D．3
 

 
分析：要使∠APE=90°，则需要以AE为直径作圆，如果此圆与线段BD相交，有几个交点，则使∠APE为直角的点P的个数就有几个，通过作图及圆心到直线的距离可知，以AE为直径的圆与BD只有两个交点，所以使∠APE为直角的点P的个数是两个。
 

 
解：此题连接AE、AC、CE，因为矩形ABCG与矩形CDEF全等，所以Rt△ACG≌Rt△CEF则∠ACE=90°，所以点C为满足条件的P点之一。取AE的中点O，然后以点O为圆心，以OA为半径作圆O，因为点O到BC的距离小于OC，所以圆O与BD有两个交点C、P，∵AE为直径，∴∠ACE=90°，（此括号内不是文章内容，来自www.88haoxue.com，阅读请跳过），∠APE=90°。∴使∠APE为直角的点的个数是两个。
 
综上所述，我们可以把某些与定点成定角的问题转化为圆周角问题，转化为直线与圆的位置关系问题，则能轻易加以解决。