等积 变形的策略

概要：在中考数学中我们经常会遇到求阴影部分的面积的题目 ，它们的形状多数不规则，这时就会用到等积变形下面是等积变形的几种的常用策略 一、平移 例：从大半圆中剪去一个小半圆（小半圆的直径在大半圆的直径MN上）点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB‖ MN。已知AB=24cm，求阴影部分的面积。 分析：由于只知道了弦AB的长，所以就不可能直接求出阴影部分的面积，此时因为AB‖ MN，两条平行线间的距离保持不变，所以可以通过平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，然后作OC⊥ AB，垂足为点C，连接OB，利用Rt △OCB就很容易得出正确答案。具体过程为： 解：设大半圆与小半圆的半径分别为R、r ，平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，作OC⊥ AB，垂足为点C，则AC=BC =12cm .连接OB，在Rt △OCB中，R2-r2=122.所以S阴影=п（R2-r2）/2=72п（cm2） 例2:：如图，AB是以点O为圆心的半圆的直径，C，D是弧AB的三等分点，点E是线段AB上的任意一点，已知圆O的半径为1，求图中阴影部分

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　　在中考数学中我们经常会遇到求阴影部分的面积的题目 ，它们的形状多数不规则，这时就会用到等积变形下面是等积变形的几种的常用策略
 
一、平移
 
例：从大半圆中剪去一个小半圆（小半圆的直径在大半圆的直径MN上）点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB‖ MN。已知AB=24cm，求阴影部分的面积。
 

 
分析：由于只知道了弦AB的长，所以就不可能直接求出阴影部分的面积，此时因为AB‖ MN，两条平行线间的距离保持不变，所以可以通过平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，然后作OC⊥ AB，垂足为点C，连接OB，利用Rt △OCB就很容易得出正确答案。具体过程为：
 
解：设大半圆与小半圆的半径分别为R、r ，平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，作OC⊥ AB，垂足为点C，则
AC=BC =12cm .连接OB，在Rt △OCB中，R2-r2=122.
所以S阴影=п（R2-r2）/2=72п（cm2）
 
例2:：如图，AB是以点O为圆心的半圆的直径，C，D是弧AB的三等分点，点E是线段AB上的任意一点，已知圆O的半径为1，求图中阴影部分的面积.
 

 
分析：这个题目中的阴影部分的面积也是不规则的，但是因为C，D是弧AB的三等分点，连结CD、OC、OD后，很容易得到AB‖CD，在弓形面积不变的情况下点E在向点O平移的过程中△ECD形状改变，但面积不变，所以阴影部分的面积就等于半圆面积减掉60度扇形的面积即等于120度扇形的面积。
 
二、旋转
例：矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，求阴影部分的面积
 

 
分析：见切点连圆心，连接OE交DB于点F，△DEF与△ DBF全等，△DEF以点F为旋转中心顺时针或逆时针旋转可使两个三角形重合，阴影部分的面积等于四分之一的圆的面积
 
三、对称
 
例：在每个小格边长为1的方格纸上利用圆规作出如图所示的图形，图中的阴影部分的面积是多少？

 
分析：左侧的阴影部分与右侧的空白部分相对应，所以阴影部分可以通过折叠组合成两个半圆环和一个半圆，结果不难得出。
 
四、拆分与组合
 
例：如图，两个半径为1，圆心角是90度 的扇形OAB和扇形O`A`B`叠放在一起，（此括号内不是文章内容，来自www.88haoxue.com，阅读请跳过），点O`在弧AB上，四边形OPO`Q是正方形，则阴影部分的面积等于多少？
 

 
分析：如图拼凑，阴影部分的面积实际等于半圆的面积减去两个正方形的面积
 
例：2008年奥运会将在北京举行，你们知道吗？国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，每个圆环的内外圆直径分别是8和10，图中两两相交成的小曲边形（闪烁部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是122.5平方单位，请你计算出每个小曲边形的面积（п取3.14）
 

 
分析：只要明确出“五个圆环覆盖的面积”与独立的五个圆环所占面积之间的区别，就会得到每一个小曲边形的面积实际是独立的五个圆环所占的面积减去“五个圆环覆盖的面积”后结果的八分之一
 
中考的题目千变万化但是在求阴影部分的面积的题目中万变不离其中只要同学们注意观察抓住要素，运用相应的策略，图形就会变得规则，题目就会变得简单。