教案一：第三课时（椭圆）人教选修1-1

概要： 椭圆的定义不仅是推导方程的基础，而且是证题的一把金钥匙.待证题目中有焦点的条件，常从定义出发，寻求证题方法，为证题创造条件，兹举例如下：例1 已知P（x0,y0）是椭圆 （a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证.例2 设P是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2=90°，求证：椭圆的率心率e≥证明 ∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a ①在Rt△F1PF2中, 由①2，得∴|PF1|·|PF2|=2(a2－c2)

椭圆的定义不仅是推导方程的基础，而且是证题的一把金钥匙.待证题目中有焦点的条件，常从定义出发，寻求证题方法，为证题创造条件，兹举例如下：

例1  已知P（x₀,y₀）是椭圆 （a＞b＞0）上的任意一点，F₁、F₂是焦点，求证：以PF₂为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.

证明  设以PF₂为直径的圆心为A，半径为r.

∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知

|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₂|=2r

∴|PF₁|+2r=2a，即|PF₁|=2（a－r）

连结OA，由三角形中位线定理，知

|OA|=

故以PF₂为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注  运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证.

例2    设P是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F₁、F₂是椭圆的焦点，且∠F₁PF₂=90°，求证：椭圆的率心率e≥

证明  ∵P是椭圆上的点，F₁、F₂是焦点，由椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a        ①

在Rt△F₁PF₂中,

由①2，得

∴|PF₁|·|PF₂|=2(a²－c²)                    ②

由①和②，据韦达定理逆定理，知|PF₁|·|PF₂|是方程z²－3az+2(a²－c²)=0的两根，

则△=4a²－8(a²－c²)≥0,

∴()²≥，即e≥.

例3  P为椭圆

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