概要: 一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双曲线的形状特征.(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力.(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题.二、教材分析1.重点:双曲线的几何性质及初步运用.(解决办法:引导学生类比椭圆的几何性质得出,至于渐近线引导学生证明.)2.难点:双曲线的渐近线方程的导出和论证.(解决办法:先引导学生观察以原点为中心,2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线,再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线.)3.疑点:双曲线的渐近线的证明.(解决办法:通过详细讲解.)三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结.四、教学过程(一)复习提问引入新课1.椭圆有哪些几何性质,是如何探讨的?请一同学回答.应为:范围、对称性、顶点、离心率,是从标准方程探讨的.2.双曲线的两种标准方程是什么?再请一同学回答.应为:中心在原
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一、教学目标
(一)知识教学点
使学生理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双曲线的形状特征.
(二)能力训练点
在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力.
(三)学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题.
二、教材分析
1.重点:双曲线的几何性质及初步运用.
(解决办法:引导学生类比椭圆的几何性质得出,至于渐近线引导学生证明.)
2.难点:双曲线的渐近线方程的导出和论证.
(解决办法:先引导学生观察以原点为中心,2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线,再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线.)
3.疑点:双曲线的渐近线的证明.
(解决办法:通过详细讲解.)
三、活动设计
提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结.
四、教学过程
(一)复习提问引入新课
1.椭圆有哪些几何性质,是如何探讨的?
请一同学回答.应为:范围、对称性、顶点、离心率,是从标准方程探讨的.
2.双曲线的两种标准方程是什么?
再请一同学回答.应为:中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标
下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质.
(二)类比联想得出性质(性质1~3)
引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答,教师引导、启发、订正并板书).<见下页>
(三)问题之中导出渐近线(性质4)
在学习椭圆时,以原点为中心,2a、2b为邻边的矩形,对于估计
仍以原点为中心,2a、2b为邻边作一矩形(板书图形),那么双曲线和这个矩形有什么关系?这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义?这些问题不要求学生回答,只引起学生类比联想.
接着再提出问题:当a、b为已知时,这个矩形的两条对角线的方程是什么?
下面,我们来证明它:
双曲线在第一象限的部分可写成:
当x逐渐增大时,|MN|逐渐减小,x无限增大,|MN|接近于零,|MQ|也接近于零,就是说,双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON.
在其他象限内也可以证明类似的情况.
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的?由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程,将x、y字
母对调所得到,自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字
这样,我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题,从而可比较精
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