数学归纳法及其应用举例教案

概要： 8. 基础反馈练习, 巩固方法应用 (课本例题与等差数列通项公式的证明差不多,套用数学归纳法的证明步骤不难解答,因此我把它作为练习,这样既考虑到学生的能力水平,也不冲淡本节课的重点.练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明,与前者是一个对比与补充.通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.) (1)(第63页例1)用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)= . (2)(第64页练习3)首项是 ,公比是q的等比数列的通项公式是 . 9. 师生共同小结, 完成概括提升 (1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学归纳法属于完全归纳法; (3) 数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概括为:两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉; (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有:

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    8. 基础反馈练习, 巩固方法应用
    (课本例题与等差数列通项公式的证明差不多,套用数学归纳法的证明步骤不难解答,因此我把它作为练习,这样既考虑到学生的能力水平,也不冲淡本节课的重点.练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明,与前者是一个对比与补充.通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.)
    (1)(第63页例1)用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)= .
    (2)(第64页练习3)首项是 ,公比是q的等比数列的通项公式是 .
    9. 师生共同小结, 完成概括提升
    (1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法;
    (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学归纳法属于完全归纳法;
    (3) 数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概括为:两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉;
    (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想.
    10. 布置课后作业, 巩固延伸铺垫
    (1) 课本第64页练习第1, 2题; 第67页习题2.1第2题.
    (2) 在数学归纳法证明的第二步中,证明n=k+1时命题成立, 必须要用到n=k时命题成立这个假设.这里留一个辨析题给学生课后讨论思考:
    用数学归纳法证明:  (n∈ )时, 其中第二步采用下面的证法:
    设n=k时等式成立, 即 , 则当n=k+1时,
    .
    你认为上面的证明正确吗?为什么?
    【教学设计说明】
    1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.我认为不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.为此,我设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.
    2.在教学方法上,这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是加强学生对教学过程的参与.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的,本节课按照思维次序编排了一系列问题,让学生投入到思维活动中来,把本节课的研究内容置于问题之中,在逐渐展开中,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得知识体系的更新与拓展.
    3.运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题,两个步骤缺一不可.理解数学归纳法中的递推思想,尤其要注意其中第二步,证明n=k+1命题成立时必须要用到n=k时命题成立这个条件.这些内容都将放在下一课时完成,这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质,也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向.

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