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一道习题的几个潜在性质 人教选修1-1

[07-12 17:19:20]   来源:http://www.88haoxue.com  高三数学教学设计   阅读:68855

概要: 课本中的许多习题都具有代表性、典型性和可塑性,研究这些习题,可以充分发挥课本的潜在功能,沟通知识间的联系,同时对促进学生钻研课本,提高解题能力及复习效益都有一定的积极作用.例如现行高中课本《平面解析几何》(必修)P.110第12题:如右图,从椭圆上一点P向x轴作垂线,恰好通过椭圆的一个焦点,这时椭圆的长轴端点A与短轴端点B的连线平行于OP,求椭圆的离心率.(答案,解答题).该题题设主要有两个条件:①弦AB与半弦OP平行;②半弦OP的端点P在x轴上的射影为椭圆的焦点.现在适当改变问题的条件,挖掘其蕴含的性质.若删去条件①,对条件②进行探索,则得性质1若过椭圆中心O的半弦端点P在x轴上的射影为椭圆的焦点,则为椭圆的离心率).证明:设,则OP的直线方程为y=tx,代入椭圆方程,得,解得.∵点P在x轴上的射影为椭圆的焦点,∴,解得,.若删去条件②,对条件①进行探索,则得性质2A、B分别是椭圆的长轴与短轴的端点,过椭圆中心O的半弦OP∥AB.则.证明:的直线方程为,将它代入椭圆方程.解得,从而[1] [2] [3] [4] 下一页

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课本中的许多习题都具有代表性、典型性和可塑性,研究这些习题,可以充分发挥课本的潜在功能,沟通知识间的联系,同时对促进学生钻研课本,提高解题能力及复习效益都有一定的积极作用.

例如现行高中课本《平面解析几何》(必修)P.110第12题:如右图,从椭圆上一点x轴作垂线,恰好通过椭圆的一个焦点,这时椭圆的长轴端点与短轴端的连线平行于OP,求椭圆的离心率.(答案,解答题).

该题题设主要有两个条件:①弦AB与半弦OP平行;②半弦OP的端点x轴上的射影为椭圆的焦点.现在适当改变问题的条件,挖掘其蕴含的性质.

若删去条件①,对条件②进行探索,则得

性质1 若过椭圆中心的半弦端点x轴上的射影为椭圆的焦点,则为椭圆的离心率).

证明:设,则OP的直线方程为y=tx,代入椭圆方程,得,解得

∵点x轴上的射影为椭圆的焦点,

,解得

.

若删去条件②,对条件①进行探索,则得

性质2 分别是椭圆的长轴与短轴的端点,过椭圆中心的半弦OPAB.则

证明:的直线方程为,将它代入椭圆方程.解得,从而

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