第四册一元二次方程实数根错例剖析课

概要：有两个不相等的实根，求k的取值范围。错解: 由△＝(-2 )2-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得 k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范围是 -1≤k＜2错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝ 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。正解： -1≤k＜2且k≠ 例4 （2002山东太原中考题） 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。错解：由根与系数的关系得 x1+x2＝ -（2m+1）, x1x2＝m2+1, ∵x12+x22＝(x1+x2)2-2 x1x2 ＝[-（2m+1）]2-2（m2+1） ＝2 m2+4 m-1 又∵ x12+x22=15 ∴ 2 m2+4 m-1=15 ∴ m1 ＝ -4 m2 ＝ 2 错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m ＝

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有两个不相等的实根，求k的取值范围。

错解: 由△＝(-2 )²-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得  k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

围是 -1≤k＜2

错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝ 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

正解： -1≤k＜2且k≠

例4             （2002山东太原中考题） 已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²+1＝0的两个实数根，当x₁²+x₂²=15时，求m的值。

错解：由根与系数的关系得

       x₁+x₂＝ -（2m+1）,    x₁x₂＝m²+1,

      ∵x₁²+x₂²＝(x₁+x₂)²-2 x₁x₂

             ＝[-（2m+1）]²-2（m²+1）

             ＝2 m²+4 m-1

      又∵ x₁²+x₂²=15

      ∴ 2 m²+4 m-1=15

      ∴ m₁ ＝ -4   m₂ ＝ 2

错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m ＝ -4时，方程为x²-7x+17＝0，此时△＝（-7）²-4×17×1＝  -19＜0，方程无实数根，不符合题意。

正解：m ＝ 2

例5   若关于 x的方程(m²-1)x²-2 (m+2)x+1＝0有实数根，求m的取值范围。

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