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正弦和余弦

[05-17 00:02:18]   来源:http://www.88haoxue.com  九年级数学教案   阅读:680

概要: 教学建议 1.知识结构:本小节主要学习正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,以及应用上述知识解决一些简单问题(包括引言中的问题)等.2.重点、难点分析(1) 正弦、余弦函数的定义是本节的重点,因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义,再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.(2) 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想,并且用含有几个字母的符号组sinA,cosA来表示,学生过去未接触过,所以正弦、余弦的概念是难点.3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函数的核心. 锐角的正弦、余弦值是这样规定的:当一个锐角确定了,那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个,但它们都是彼此相似的.如上图,当 确定时,包含 的直角三角形有无穷多个,但它们彼此相似: ∽ ∽ ∽ ……因此,由于相似三角形的对应边成比例,所以这些三角形的对应边的比都是相等的. 这就是说,每当一个锐角确定了,包含这个角的直角

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教学建议

  1.知识结构:本小节主要学习正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,以及应用上述知识解决一些简单问题(包括引言中的问题)等.

  2.重点、难点分析

  (1) 正弦、余弦函数的定义是本节的重点,因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义,再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.

  (2) 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想,并且用含有几个字母的符号组sinA,cosA来表示,学生过去未接触过,所以正弦、余弦的概念是难点.

  3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函数的核心.

  锐角的正弦、余弦值是这样规定的:当一个锐角确定了,那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个,但它们都是彼此相似的.如上图,当 确定时,包含 的直角三角形有无穷多个,但它们彼此相似:

   ∽ ∽ ∽ ……因此,由于相似三角形的对应边成比例,所以这些三角形的对应边的比都是相等的.

  

  这就是说,每当一个锐角确定了,包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了,它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系,我们引入了正(余)弦的说法,创造了sin 和cos这样的符号.

  应当注意:单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义;另一方面,这些符号和角写在一起时(如 ),它表示的就不再是角,而是一个特定的三角形的两条边的比值了(如 ).真正理解并掌握这些,才真正掌握了这些符号的含义,才能正确地运用它们.

  4. 我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.

  我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式,而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如, 如图所示,若 ,则有

  有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中,我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式,如图中,ABCD是梯形, ,作 , 我们应正确地写出如下的三角函数关系式:

  

  

  很显然,这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.

  5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出,也便于记忆,应当熟悉掌握它们.

  利用勾股定理,很容易求出含有 或 角的直角三角形三边的比;如图(1)和图(2)所示.

  根据定义,有

  

  另一方面,可以想像,当 时,边 与AC重合(即 ),所以

  当 时,边AB与CB重合(即AB=CB),AC的长缩小为0,于是,有

  把以上结果可以集中列出下面的表: