课例二面角的教学设计与评述

概要：[评：从一道题出发通过一题多变，进行变式练习，不仅是使学生掌握知识、形成技能的有效手段，更有利于学生形成完整的知识结构，培养学生思维的灵活性]如图7：山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道，它和坡脚的水平线的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后，升高了多少米？图7解：已知=100米，设垂直于过的水平平面，垂足为，线段的长度就是所求的高度。在平面内，过点作，垂足是，连结。平面，。因此，就是坡面和水平平面所成的二面角的平面角，=60°。由此得=sin60°=sin30°sin60°=100sin30°sin60°=答：沿直道前进100米，升高约43。3米。[评：从实际问题出发，又以实际问题结束，将理论与实际相结合的数学原理，提到了更重要的高度。]三、小结：师：同学们把上图中山“去掉”留下的图形是什么几何体？有哪些特征？生：是一个四面体，这个四面体四个面都是直角三角形。这个图中还包含二面角的平面角、线与面所成角、点到线距离、点到面距离等。师：这个四面体是立体几何中最常用的一个基本图形，立体中许多问题都可化归到这个四面体进行求解，这就是

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[评：从一道题出发通过一题多变，进行变式练习，不仅是使学生掌握知识、形成技能的有效手段，更有利于学生形成完整的知识结构，培养学生思维的灵活性]

如图7：山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道，它和坡脚的水平线的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后，升高了多少米？

图7

解：已知=100米，设垂直于过的水平平面，垂足为，线段的长度就是所求的高度。在平面内，过点作，垂足是，连结。

平面，

。

因此，就是坡面和水平平面所成的二面角的平面角，=60°。由此得=sin60°=sin30°sin60°=100sin30°sin60°=

答：沿直道前进100米，升高约43。3米。

[评：从实际问题出发，又以实际问题结束，将理论与实际相结合的数学原理，提到了更重要的高度。]

三、小结：

师：同学们把上图中山“去掉”留下的图形是什么几何体？有哪些特征？

生：是一个四面体，这个四面体四个面都是直角三角形。这个图中还包含二面角的平面角、线与面所成角、点到线距离、点到面距离等。

师：这个四面体是立体几何中最常用的一个基本图形，立体中许多问题都可化归到这个四面体进行求解，这就是数学中最常用一种化归思想。关于二面角计算题或证明题，关键找（作）出二面角的平面角，今天我们讲了作二面角的平面角三种方法。这节课讲的两个例题用图（2）方法----三垂线法作二面角的平面角，这样通过作二面角的平面角，把立体几何问题化归为平几问题来处理。许多实际应用题，通过建模，可转化为数学问题来解决。我们的周围处处有数学，希望同学们学会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和研究。

四、作业：P451--6

[评：大多数学生之所以学习有困难，解决问题能力差，问题在于他们所获得的概念、知识不是通过研究事实和现象的途径形成的，而是死记硬背得来的。本课例设计不是简单地将二面角及二面角的平面角定义直接传受给学生，而是考虑到知识的形成过程，设法从学生的数学现实出发，创设“爬山”的实际问题情景，调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程，这样，学生学到的不单是知识本身，也经历了知识的发生、形成过程，同时在分析、探索过程中，依靠自己的独立智慧努力，而获得了一些能够概括大量事实现象和知识，这种知识对学生来说是极为宝贵。]

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