高三数学三角函数、解三角形章末复习测试

概要：9．△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析D∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，又∵b2＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴2b＝a＋c＝2a，∴b＝a，即a＝b＝c.10．f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取最大值，则()A．f(x－1)一定是奇函数 B．f(x－1)一定是偶函数C．f(x＋1)一定是奇函数 D．f(x＋1)一定是偶函数解析D∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取最大值，∴f(x＋1)在x＝0处取最大值，即y轴是函数f(x＋1)的对称轴，∴函数f(x＋1)是偶函数．11．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是() 解析A令x＝0得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.由

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9．△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是(　　)
A．钝角三角形   B．直角三角形
C．等腰直角三角形   D．等边三角形
  　解析　D　∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，
又∵b2＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴2b＝a＋c＝2a，
∴b＝a，即a＝b＝c.
10．f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取最大值，则(　　)
A．f(x－1)一定是奇函数   B．f(x－1)一定是偶函数
C．f(x＋1)一定是奇函数   D．f(x＋1)一定是偶函数
　解析　D　∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取最大值，∴f(x＋1)在x＝0处取最大值，即y轴是函数f(x＋1)的对称轴，∴函数f(x＋1)是偶函数．
11．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是(　　)

  解析　A　令x＝0得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.由f－π3＝0，fπ6＝0，排除C.
12．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg1a，且α＋β＝π4，则实数a的值为(　　)
        A．1       B.110           C．1或110      D．1或10
　     解析　C　tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtanβ＝lg10a＋lg1a1－lg10a•lg1a＝1⇒lg2a＋lg a＝0，
              所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或110.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2011•黄冈模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所  
    示，fπ2＝－23，则f(0)＝________.
　解析　由图象可得最小正周期为2π3.   所以f(0)＝f2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，
         故f2π3＝－fπ2＝23.
   【答案】　23
14．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且     
   满足ab＝4，则△ABC的面积 为________．
　解析　由sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，∴2cos C＝1.∴C＝60°.
         又∵ab＝4，∴S△ABC＝12absin C＝12×4×sin 60°＝3.
  【答案】　3
15．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个 照明光源，射向地面的光呈圆形，且其     
轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的 
高度为________m.
　解析　轴截面如图，则光源高度h＝15tan 60°＝53(m)．
【答案】　53
16. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33＝________.
　解析　记相应的三个圆的圆心分别是O1，O2，O3，半径为r，依题意知，可考虑特殊情     
         形，从而求得相应的值．当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知         
        有α1＝α2＝α3＝2π－2π3＝4π3，此时cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33
          ＝cosα1＋α2＋α33＝cos4π3＝cosπ＋π3＝－cosπ3＝－12.
【答案】　－12
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝lg22，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
　解析　∵lg sin B＝lg22，∴sin B＝22，
∵B为锐角，∴B＝45°.
又∵lg a－lg c＝lg22，∴ac＝22.
由正弦定理，得sin Asin C＝22，
∴2sin C＝2sin A＝2sin(135°－C)，
即sin C＝sin C＋cos C，∴cos C＝0，∴C＝90°，
故△ABC为等腰直角三角形．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1(x∈R，ω＞0)的最小正周期是π2.
(1)求ω 的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
　解析　(1)f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx＋1
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2
＝2sin2ωx＋π4＋2.
由题设，函数f(x)的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，
所以ω＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin4x＋π4＋2.
当4x＋π4＝π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝π16＋kπ2(k∈Z)时，
sin4x＋π4取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋2，此时x的集合为xx＝π16＋kπ2，k∈Z.
19．(12分)在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa＝3cos Cc.
(1)求角C的大小；
(2)如果a＋b＝6，CA→•CB→＝4，求c的值．
　解析　(1)因为asin A＝csin C，sin Aa＝3cos Cc，
所以sin C＝3cos C．所以tan C＝3.
因为C∈(0，π)，所以C＝π3.
(2)因为CA→•CB→＝|CA→|•|CB→|cos C＝12ab＝4，
所以ab＝8.因为a＋b＝6，（此括号内不是文章内容，来自www.88haoxue.com，阅读请跳过），根据余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12.
所以c的值为23.
20．(12分)在△ABC中，a， b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.

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