高三解析几何测试题

概要：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若直线l与直线y＝1、x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为() A.13 B．－13C．－32 D.23解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a＋72，1＋b2，则 a＋72＝1，1＋b2＝－1，解得a＝－5，b＝－3，即可得P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜 率为kPQ＝1＋3－5－7＝－13.答案：B2．若直线x＋(a－2)y－a＝0与直线ax＋y－1＝0互相垂直，则a的值为()A．2 B．1或2 C．1 D．0或1解析：依题意，得(－a)×－1a－2＝－1，解得a＝1.答案：C3．已知圆(x－1)2＋(y－33)2＝r2(r＞0)的一条切线y＝kx＋3与直线x＝5的夹角为π6，则半径r的值为()A.32 B.332C.32或332 D.32或3解析：∵直线y＝kx＋3与x＝5的夹角为π6，∴k＝±3.由直线和

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．若直线l与直线y＝1、x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
          A.13　　　　 B．－13　　　　C．－32　　　　 D.23
解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a＋72，1＋b2，则   
     a＋72＝1，1＋b2＝－1，解得a＝－5，b＝－3，即可得P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜      
    率为kPQ＝1＋3－5－7＝－13.
答案：B
2．若直线x＋(a－2)y－a＝0与直线ax＋y－1＝0互相垂直，则a的值为(　　)
A．2   B．1或2  
C．1   D．0或1
解析：依题意，得(－a)×－1a－2＝－1，解得a＝1.
答案：C
3．已知圆(x－1)2＋(y－33)2＝r2(r＞0)的一条切线y＝kx＋3与直线x＝5的夹角为π6，则半径r的值为(　　)
A.32   B.332
C.32或332   D.32或3
解析：∵直线y＝kx＋3与x＝5的夹角为π6，∴k＝±3.由直线和圆相切的条件得r＝32或332.
答案：C
4．顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y＝x＋1截得的弦长是10，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－x，或y2＝5x   B．y2＝－x
C．y2＝x，或y2＝－5x   D．y2＝5x
解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2＝mx(m≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m＝－1，或m＝5，从而选项A正确．
答案：A
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为(　　)
A．106   B．206  
C．306   D．406
解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252－12＝46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10＝206，故应选B.
答案：B
6．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是(　　)
A．3   B．5  
C.3   D.5
解析：焦点到准线的距离为c－a2c＝b2c，焦点到渐近线的距离为bca2＋b2＝b，bc＝23，e＝3.
答案：C
7．若圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2   B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2   D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
 
解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为 ，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
答案：C
8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点E(m, 0)(m≠0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若PM→＝λME→，PN→＝μNE→，则λ＋μ ＝(　　)
A．1   B．－12  
C．－1   D．－2
解析：设过点E的直线方程为y＝k(x－m)．代入抛物线方程，整理可得k2x2＋(－2mk2－2p)x＋m2k2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2p＋2mk2k2，x1x2＝m2.
由PM→＝λME→，PN→＝μNE→，可得
x1＝λ(m－x1)，x2＝μ(m－x2)，则λ＋μ＝x1m－x1＋x2m－x2＝x1(m－x2)＋x2(m－x1)(m－x1)(m－x2)＝m(x1＋x2)－2x1x2m2＋x1x2－m(x1＋x2)＝m(x1＋x2)－2m22m2－m(x1＋x2)＝－1.
答案：C
9．直线MN与双曲线C：x2a2－y2b2＝1的左、右支分别交于M、N点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|＝2|FN|，又NP→＝λPM→(λ∈R)，则实数λ的值为(　　)
A.12   B．1  
C．2   D.13
解析：如图所示，分别过点M、N作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.
 
由双曲线的第二定义，可得 = =e，
则 = =2.
∵△MPB∽△NPA，∴ = = ，即 =  .
答案：A
10．在平面直角坐标系内，点P到点A(1,0)，B(a,4)及到直线x＝－1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a＝(　 　)
A．1   B．2
C．2或－2   D．1或－1
解析：依题意得，一方面，点P应位于以点A(1,0 )为焦点、直线x＝－1为准线的抛物线y2＝4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y－2＝－a－14x－a＋12上．
由于要使这样的点P是唯一的，
因此要求方程组y2＝4x，y－2＝－a－14x－a＋12有唯一的实数解．
结合选项进行检验即可．当a＝1时，抛物线y2＝4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a＝－1时，线段AB的中垂线方程是y＝12x＋2，易知方程组y2＝4x，y＝12x＋2有唯一实数解．
综上所述，a＝1，或a＝－1.
答案：D 
11．已知椭圆C：x24＋y2＝1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2＝|PF1|•|PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“★点”．下列结论正确的是(　　)
A．椭圆C上的所有点都是“★点”
B．椭圆C上仅有有限个点是“★点”
C．椭圆C上的所有点都不是“★点”
D．椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”
解析：设椭圆C：x24＋y2＝1上点P的坐标为(2cosα，sinα)，由|PO|2＝|PF1|•|PF2|，可得4cos2α＋sin2α＝(2cosα＋3)2＋sin2α•(2cosα－3)2＋sin2α，整理可得cos2α＝12，即可得cosα＝±22，sinα＝±22，由此可得点P的坐标为±2，±22，即椭圆C上有4个点是“★点”．
答案：B
12．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|•|OR|的大小关系为(　　)
A．|OP|2＜|OQ|•|OR|   B．|OP|2＞|OQ|•|OR|

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