高三解析几何测试题

概要：则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是x0＝x1＋x22＝－3km1＋3k2，y0＝kx0＋m＝m1＋3k2，即N－3km1＋3k2，m1＋3k2，又∵|AP→|＝|AQ→|，∴AN→⊥PQ→，∴k•kAN＝k•m1＋3k2＋1－3km1＋3k2＝－1，∴m＝1＋3k22.将m＝1＋3k22代入(**)式，得1＋3k2－1＋3k222＞0(k≠0)，即k2＜1，得k∈(－1,0)∪(0,1)．综合①②得，k的取值范围是(－1,1)．21．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，它的一条准线方程为x＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB的距离为63，求∠AOB的大小．解析：(1)由题意，知ca＝22，a2c＝2，得a＝2，c＝1，故a2＝2，b2＝1，故椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝&p

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则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是
x0＝x1＋x22＝－3km1＋3k2，y0＝kx0＋m＝m1＋3k2，
即N－3km1＋3k2，m1＋3k2，
又∵|AP→|＝|AQ→|，∴AN→⊥PQ→，
∴k•kAN＝k•m1＋3k2＋1－3km1＋3k2＝－1，∴m＝1＋3k22.
将m＝1＋3k22代入(**)式，得1＋3k2－1＋3k222＞0(k≠0)，
即k2＜1，得k∈(－1,0)∪(0,1)．
综合①②得，k的取值范围是(－1,1)．
21．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，它的一条准线方程为x＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB的距离为63，求∠AOB的大小．
解析：(1)由题意，知ca＝22，a2c＝2，
得a＝2，c＝1，故a2＝2，b2＝1，
故椭圆方程为x22＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设直线AB的方程为x＝±63，或y＝kx＋b.
当直线AB的方程为x＝63时，由x＝63，x22＋y2＝1，
可求A63，63，B63，－63.
从而OA→•OB→＝0，可得∠AOB＝π2.
同理可知当直线AB的方程为x＝ －63时，和椭圆交得两点A、B.
可得∠AOB＝π2.
当直线AB的方程为y＝kx＋b.
由原点到直线的距离为63，得b1＋k2＝63.
即1＋k2＝32b2.
又由y＝kx＋b，x22＋y2＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0.
得x1＋x2＝－4kb1＋2k2，x1x2＝2b2－21＋2k2，
从而y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)
＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝b2－2k21＋2k2.
OA→•OB→＝x1x2＋y1y2＝2b2－21＋2k2＋b2－2k21＋2k2
＝3b2－2(1＋k2)1＋2k2，
将1＋k2＝32b2代入上式，得OA→•OB→＝0，
∠AOB＝90°.
22．(12分)已知动点P与双曲线x2－y23＝1的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1→|•|PF2→|的最大值为9.[来xkb1.com
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，－2)满足AM→＝λMB→，求实数λ的取值范围．
解析：(1)双曲线x2－y23＝1的两焦点F1(－2,0)、F2(2,0)．
设已知定值为2a，则|PF1→|＋|PF2→|＝2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆．
设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．
∵|PF1→|•|PF2→|≤|PF1→|＋|PF2→|22＝a2，
当且仅当|PF1→|＝|PF2→|时等号成立，
∴a2＝9，b2＝a2－c2＝5，
∴动点P的轨迹E的方程是x29＋y25＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM→＝λMB→， 得
－x1＝λx2，－2－y1＝λ(y2＋2)，
且M、A、B三点共线，设直线为l，
①当直线l的斜率存在时，设 l：y＝kx－2，
由y＝kx－2，x29＋y25＝1，得(5＋9k2)x2－36kx－9＝0，
Δ＝(－36k)2－4(5＋9k2)(－9)＞0恒成立．
由韦达定理，得x1＋x2＝36k5＋9k2，x1x2＝－95＋9k2.
将x1＝－λx2代入，消去x2得(1－λ)2λ＝144k25＋9k2.
当k＝0时，得λ＝1；
当k≠0时，(1－λ)2λ＝1445k2＋9，由k2＞0，得
0＜(1－λ)2λ＜16，得9－45＜λ＜9＋45，且λ≠1.
②当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴端点，此时λ＝－2－y12＋y2＝9±45.
综上所述，λ的取值范围是[9－45，9＋45]．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．若直线l与直线y＝1、x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
          A.13　　　　 B．－13　　　　C．－32　　　　 D.23
解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a＋72，1＋b2，则  
     a＋72＝1，1＋b2＝－1，解得a＝－5，b＝－3，即可得P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜     
    率为kPQ＝1＋3－5－7＝－13.
答案：B
2．若直线x＋(a－2)y－a＝0与直线ax＋y－1＝0互相垂直，则a的值为(　　)
A．2   B．1或2 
C．1   D．0或1
解析：依题意，得(－a)×－1a－2＝－1，解得a＝1.
答案：C
3．已知圆(x－1)2＋(y－33)2＝r2(r＞0)的一条切线y＝kx＋3与直线x＝5的夹角为π6，则半径r的值为(　　)
A.32   B.332
C.32或332   D.32或3
解析：∵直线y＝kx＋3与x＝5的夹角为π6，∴k＝±3.由直线和圆相切的条件得r＝32或332.
答案：C
4．顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y＝x＋1截得的弦长是10，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－x，或y2＝5x   B．y2＝－x
C．y2＝x，或y2＝－5x   D．y2＝5x
解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2＝mx(m≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m＝－1，或m＝5，从而选项A正确．
答案：A
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为(　　)
A．106   B．206 
C．306   D．406
解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252－12＝46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10＝206，故应选B.
答案：B
6．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是(　　)
A．3   B．5 
C.3   D.5
解析：焦点到准线的距离为c－a2c＝b2c，焦点到渐近线的距离为bca2＋b2＝b，bc＝23，e＝3.
答案：C
7．若圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2   B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2   D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为 ，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

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