高三解析几何测试题

概要：C．|OP|2＝|OQ|•|OR| D．不确定解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是y＝±bax，直线AQ的方程是y＝ba(x－a)，直线AR的方程是y＝－ba(x－a)，直线OP的 方程是y＝y0x0x，可得Qabx0bx0－ay0，aby0bx0－ay0，Rabx0bx0＋ay0，aby0bx0＋ay0.又x02a2－y02b2＝1，可得|OP|2＝|OQ|•|OR|.答案：C第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若两直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则其交点的坐标为__________．解析：由已知两直线互相垂直可得a＝－2，则由2x＋y＋2＝0，－x＋2y－1＝0得两直线的交点坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)14．如果点M是抛物线y2＝4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，那么|MA|＋|MF|的最小值为__________．解析：如图所示，过点M作MB⊥l于点B.由抛物线定义，可得|MF|＝|MB|，

高三解析几何测试题,标签：高三数学学习方法介绍,http://www.88haoxue.com
C．|OP|2＝|OQ|•|OR|   D．不确定
解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是y＝±bax，直线AQ的方程是y＝ba(x－a)，直线AR的方程是y＝－ba(x－a)，直线OP的 方程是y＝y0x0x，可得Qabx0bx0－ay0，aby0bx0－ay0，Rabx0bx0＋ay0，aby0bx0＋ay0.
又x02a2－y02b2＝1，可得|OP|2＝|OQ|•|OR|.
答案：C
第Ⅱ卷　(非选择　共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若两直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则其交点的坐标为__________．
解析：由已知两直线互相垂直可得a＝－2，
则由2x＋y＋2＝0，－x＋2y－1＝0得两直线的交点坐标为(－1,0)．
答案：(－1,0)
14．如果点M是抛物线y2＝4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，那么|MA|＋|MF|的最小值为__________．
解析：如图所示，过点M作MB⊥l于点B.由抛物线定义，可得|MF|＝|MB|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MB|≥|CB|－1＝4＋1－1＝4.
 
答案：4
15．若过原点O且方向向量为(m,1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于P、Q两点，则OP→•OQ→＝__________.
解析：可由条件设出直线方程，联立方程运用韦达定理可求解，其中OP→•OQ→＝x1x 2＋y1y2是引发思路的关键．
答案：－3
16．如果F1为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为__________．
解析：将l：y＝x－1代入椭圆C：x22＋y2＝1，可得x2＋2(x－1)2－2＝0，即3x2－4x＝0，解之得x＝0，或x ＝43.
可得A(0，－1)，B43，13.又F1(－1,0)，则|F1A|＋|F1B|＝(－1)2＋12＋43＋12＋132＝823.
答案：823 
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知椭圆 C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆焦点坐标；
(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM•kPN＝－14时，求椭圆的方程．
解析：(1)由b＝21＋1，得b＝2，
又 2a＝4，a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，
故两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．
(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，
不妨设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)．
点M、N、P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，
即有x02a2＋y02b2＝1，x2a2＋y2b2＝1，
两式相减，得y2－y02x2－x02＝－b2a2.
由题意它们的斜率存在，则kPM＝y－y0x－x0，kPN＝y＋y0x＋x0，
kPM•kPN＝y－y0x－x0•y＋y0x＋x0＝y2－y02x2－x02＝－b2a2，
则－b2a2＝－14.
由a＝2，得b＝1.
故所求椭圆的方程为x24＋y2＝1.
18．(12分)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|•|NP→|＝MN→•MP→.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4的位置关系．
解析：(1)设P(x，y)，则MN→＝(2,0)，NP→＝(x－1，y)，
MP→＝(x＋1，y)．
由|MN→|•|NP→|＝MN→•MP→，
得2(x－1)2＋y2＝2(x＋1)，
化简，得y2＝4x.
故动点P的轨迹方程为y2＝4x.
(2)由点A(t,4)在轨迹y2＝4x上，
则42＝4t，解得t＝4，即A(4,4)．
当m＝4时，直线AK的方程为x＝4， 
此时直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．
当m≠4时，直线AK的方程为y＝44－m(x－m)，
即4x＋m(m－4)y－4m＝0，
圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK的距离d＝|2m＋8|16＋(m－4)2， 
令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＜2，解得m＜1；
令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＝2，解得m＝1；
令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＞2，解得m＞1.
综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相交；
当m＝1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相切 ；
当m＞1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．
 
19．(12分)如图，已知直线L：x＝my＋1过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x2＝43y的焦点为椭圆C的上顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线L交y轴于点M，且MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，当m变化时，求λ1＋λ2的值．
解析：(1)易知b＝3，得b2＝3.
又∵F(1,0)，
∴c＝1，a2＝b2＋c2＝4，
∴椭 圆C的方程为x24＋y23＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋1，3x2＋4y2－12＝0，
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝ 0，Δ＝144(m2＋1)＞0，
于是1y1＋1y2＝2m3.(*)
∵L与y轴交于点M0，－1m，又由MA→＝λ1AF→，
∴x1，y1＋1m＝λ1(1－x1，－y1)，
∴λ1＝1－1my1.同理λ2＝－1－1my2.
从而λ1＋λ2＝－2－1m1y1＋1y2＝－2－23＝－83.
即λ1＋λ2＝－83.
20．(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，－1)，B(0,1)，且GM→＝λAB→(λ∈R)．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP→|＝|AQ→ |，试求k的取值范围．
解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.
∵GM→＝λAB→，(λ∈R)，∴GM∥AB.
∵点M是三角形的外心，∴M点在x轴上，即Mx3，0.
又∵|MA→|＝|MC→|，
∴ x32＋(0＋1)2＝ x3－x2＋y2，
整理，得x23＋y2＝1，(x≠0)，即为曲线C的方程．
(2)①当k＝0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|AP→|＝|AQ→|.
②当k≠0时，可设l的方程为y＝kx＋m，
联立方程组y＝kx＋m，x23＋y2＝1，消去y，
整理，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.(*)
∵直线l和椭圆C交于不同两点，
∴Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)×(m2－1)＞0，
即1＋3k2－m2＞0.(**)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，
于是有x1＋x2＝－6km1＋3k2.

上一页  [1] [2] [3] [4] [5]  下一页