高三数学三角函数、解三角形训练题

概要：A.2063米 B．106米 C.1063米 D．202米解析：设折断点与树干底部的距离为x米．则xsin45°＝20sin(180°－75°－45°)＝20sin60°，∴x＝20×sin45°sin60°＝2023＝2063(米).答案：A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若π4是函数f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，且为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是__________．解析：由题意，得fπ4＝sinπ2＋acos2π4＝0，∴1＋12a＝0，∴a＝－2. ∴f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1， ∴f(x)的最小正周期为π.答案：π14．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB.sinAcosB＝34， 则△A

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A.2063米        B．106米         C.1063米      D．202米
解析：设折断点与树干底部的距离为x米．
则xsin45°＝20sin(180°－75°－45°)＝20sin60°，
∴x＝20×sin45°sin60°＝2023＝2063(米).
答案：A

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若π4是函数f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，且为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是__________．
解析：由题意，得fπ4＝sinπ2＋acos2π4＝0，∴1＋12a＝0，∴a＝－2.
     ∴f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，
     ∴f(x)的最小正周期为π.
答案：π
14．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB.sinAcosB＝34， 则△ABC的形状为__________．
解析：∵tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，
∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3， ∴tanC＝3，又C∈(0，π)，∴C＝π3.
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝32，
∴cosAsinB＝34，∴sinAcosB＝cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
∴△ABC为正三角形．
答案：正三角形
15．若将函数y＝tanωx＋π4(ω＞0)的图像向右平移π6个单位后，与函数y＝tanωx＋π6的图像重合，则ω的最小值为__________．
解析： 由已知，得tanωx－π6＋π4＝tanωx－ω6π＋π4＝tanωx＋π6，得π4－ω6π＝kπ＋       
        π6(k∈Z)，∴ω＝－6k＋12(k∈Z)．∵ω＞0，∴当k＝0时，ω的 最小值为12.
答案：12
16．给出下列命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；
②若α、β为锐角，tan(α＋β)＝12，tanβ＝13，则α＋2β＝π4；
③若A 、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2＜0，则△ABC是钝角三角形．
其中真命题的序号是__________．
解析：①中，S扇形＝12α•R2＝12×12×22＝1，
∴①不正确．
②中，由已知可得tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(α＋β)＋tanβ1－tan(α＋β)tanβ＝13＋121－13×12＝1，
又α、β为锐角，tan(α＋β)＝12＞0，∴0＜α＋β＜π2.
又由tanβ＝13＜1，得0＜β＜π4，  ∴0＜α＋2β＜34π，∴α＋2β＝π4.∴②正确．
③中，由sinA＜sinB⇒BC2R＜AC2R(2R为△ABC的外接圆半径)⇒BC＜AC.∴③正确．
④中，由a2＋b2－c2＜0知，c osC＜0，
∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．∴④正确．
答案：②③④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知sinα＝－55 ，tanβ＝－13，且α、β∈－π2，0.
(1)求α＋β的值； (2)求2sin＝π4－α＋cosπ4＋β的值．
解析：(1)∵sinα＝－55，α∈－π2，0， ∴cosα＝255.∴tanα＝－12，
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1.  又∵－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－π4.
(2)由(1)知，α＋β＝－π4，
2sinπ4－α＋cosπ4＋β＝2sinπ4－α＋cosπ4－π4－α＝2sinπ4－α＋cosα
   ＝2cosα－sinα＝2×255＋55＝5.
18．(12分)已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝12，－12.
(1)若a•b＝22，a•c＝3－14，求角2β－α的值；
(2)若a＝b＋c，求tanα的值．
解析：(1)a•b＝(cosα，sinα)•(cosβ，sinβ)
＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝cos(α－β)＝22.①
a•c＝(cosα，sinα)•12，－12
＝12cosα－12sinα＝3－14.②
又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2.
由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.
∵α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.
(2)由a＝b＋c，可得cosβ＝cosa－12，　　　　　　　③sinβ＝sinα＋12.  ④
③2＋④2，得cosα－sinα＝12.
∴2sinαcosα＝34.
又∵2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝34，
∴3tan2α－8tanα＋3＝0.
又∵α为锐角，∴tanα＞0，
∴tanα＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.
19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2一个周期的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若f(α)＋fα－π3＝2425，且α为△ABC的一个内角，
求sinα＋cosα的值．
解析：(1)由图知，函数的最大值为1，则A＝1，
函数f(x)的周期为T＝ 4×π12＋π6＝π.
而T＝2πω，则ω＝2.
又x＝－π6时，y＝0，∴sin2×－π6＋φ＝0.
而－π2＜φ＜π2，则φ＝π3.
∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin2x＋π3.

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