一道基础性 题目的变式练习探究

概要：教师在讲评例题时，往往局限于就题讲题，学生对相关知识点的掌握和知识的迁移却不能兼顾，从而导致教学效果较差。如果教师在讲授的时候能够触类旁通，对原有例题、习题进行变式，即对原题条件、问题等进行变换，就能起到举一反三和事半功倍的效果。 下面是我就一元一次方程的应用题—工程类的一道题目进行的变式练习探究： 例题：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？ 分析：本题是一个典型的工程类应用题 （一）、工程问题中三个基本量是： 1.工作量、工作时间、工作效率； 2.这三个基本量的关系是： 工作量=工作时间×工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 3.工作总量通常看作单位“1” （二）、相等关系： 甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量 解：设两人合作x小时完成此工作，依题意可得： x/20+x/12=1 解之得：x=7.5 答：两人合作7.5小时完成。 变式一： 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做

　　教师在讲评例题时，往往局限于就题讲题，学生对相关知识点的掌握和知识的迁移却不能兼顾，从而导致教学效果较差。如果教师在讲授的时候能够触类旁通，对原有例题、习题进行变式，即对原题条件、问题等进行变换，就能起到举一反三和事半功倍的效果。
 
　　下面是我就一元一次方程的应用题—工程类的一道题目进行的变式练习探究：
 
　　例题：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？
 
　　分析：本题是一个典型的工程类应用题
 
　　（一）、工程问题中三个基本量是：
 
　　1.工作量、工作时间、工作效率；
 
　　2.这三个基本量的关系是：
 
　　工作量=工作时间×工作效率
 
　　工作效率=工作量÷工作时间
 
　　工作时间=工作量÷工作效率
 
　　3.工作总量通常看作单位“1”
 
　　（二）、相等关系：
 
　　甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量
 
　　解：设两人合作x小时完成此工作，依题意可得：
 
　　x/20+x/12=1
 
　　解之得：x=7.5
 
　　答：两人合作7.5小时完成。
 
　　变式一：
 
　　一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？
 
　　分析1：此工作分两步完成的，故有相等关系：
 
　　甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量
 
　　解法一：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：
 
　　4/20+（1/20+1/12）·x=1
 
　　解之得：x=6
 
　　答：两人合作还要6小时完成。
 
　　分析2：此工作由甲、乙两人完成的，故有相等关系：
 
　　甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量
 
　　解法二：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：
 
　　（4+x）/20+x/12=1
 
　　解之得：x=6
 
　　答：两人合作还要6小时完成。
 
　　变式二：
 
　　一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？
 
　　分析；本题目在前者的基础上仅改变了完成的工作总量，故由此易建立方程：
 
　　4/20+（1/20+1/12）·x=2/3
 
　　解法：略
 
　　变式三：
 
　　一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？
 
　　分析：本题目在前者的基础上改变了未知量，弄清问题中是总的时间，要特别注意。相等关系：
 
　　甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量
 
　　解：设共需x小时完成此工作，依题意可得：
 
　　x/20+（x－4）/12=2/3
 
　　解之得：x=7.5  
 
　　答：共要7.5小时完成此工作的2/3。
 
　　变式四：
 
　　一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？
 
　　分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。相等关系：
 
　　甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量
 
　　解：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：
 
　　4/20+x/7.5=1
 
　　解之得：x=6
 
　　答：两人合作还要6小时完成。
 
　　变式五：
 
　　一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？
 
　　分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。但还要求出乙的工作效率：1/7.5－1/20
 
　　相等关系：
 
　　甲先单独完成的工作量+ 乙单独完成的工作量=完成的工作总量
 
　　解：设乙还需x小时完成此工作，依题意可得：
 
　　4/20+（1/7.5－1/20）·x=1
 
　　解之得：x=9.6 
 
　　答：乙还要9小时36分完成。
 
　　变式六：
 
　　一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？
 
　　分析：此题涉及到前面几个题目中的变化，且完成方式更为复杂化。但明确等量关系仍然不变：
 
　　（1）此工作分三步完成的，故有：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量
 
　　（2）此工作由甲乙二人完成的，故有：甲共完成的工作量+乙共完成的工作量=完成的工作总量
 
　　类比前面变式练习便可解出此题：
 
　　解法1：设共需x小时完成此工作，依题意可得：
 
　　4/20+2×（2/5÷3）+（x-4-2）（2/5÷3-1/20）=1
 
　　解之得：x=12.4  
 
　　答：共要12小时24分钟完成此工作。
 
　　解法2：设共需x小时完成此工作，（此括号内不是文章内容，来自www.88haoxue.com，阅读请跳过），依题意可得：
 
　　（4+2）/20+（x－4）（2/5÷3-1/20）=1
 
　　解之得：x=12.4  
 
　　答：共要12小时24分钟完成此工作。
 
　　反思：通过设计变式练习，可以脱离就题论题的模式，让学生从题海中逃匿，很轻松地就能理解此类题目，且能达到举一反三之功效。同时通过问题的循序渐进、由简到繁，让学生明确题目的演变过程，揭开了综合性较强的题目的神秘面纱，从而形成“析问题，抓本质”的习惯，增强战胜困难的信心和智慧。