初中数学《锐 角的三角函数值》教案

概要： 例4. 已知方程 的两根为 tgθ, ctgθ,求k和θ，（θ为锐角） 思路分析：∵tgθ, ctgθ为二次方程 的二根，根据与系数关系式，得 ∵tgθ• ctgθ=1 ∴k = 1 ∴原方程为 即tgθ= , ctgθ= 或 tgθ= , ctg = 故θ¬1=30° θ2 = 60°锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路. 如本例，首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出K，又回到解一元二次方程来，解出二根，从中求出tgθ,ctgθ之值，再求出对应的θ之值，总之，善于剖析，化整为零，一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了.

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  例4. 已知方程 的两根为 tgθ, ctgθ,求k和θ，（θ为锐角）
  思路分析：∵tgθ, ctgθ为二次方程 的二根，根据与系数关系式，得
      
   ∵tgθ• ctgθ=1     ∴k = 1
   ∴原方程为
   
   即tgθ=   , ctgθ=   或 tgθ=  ,  ctg = 
   故θ¬1=30°    θ2 = 60°
锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路. 如本例，首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出K，又回到解一元二次方程来，解出二根，从中求出tgθ,ctgθ之值，再求出对应的θ之值，总之，善于剖析，化整为零，一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了.
例5. 在△ABC中，三边之比a：b：c = 1： ：2，则SinA + tgA等于（    ）
  A.           B. 
  C.               D. 
思路分析：∵ a：b：c = 1： ：2
    ∴ 可设a = k, b =  k , c = 2k  ( k > 0 )
    ∴a2 + b2 = k2 + ( k)2= 4k2 = (2k)2 = c2
    ∴ △ABC是直角三角形，且∠C= 90°
    根据三角函数定义，可知：
   
∴△ABC是直角三角形，且∠C= 90°
根据三角函数定义，可知：

∴SinA + tg A
 
    ∴ 应选（A）
对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数K，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角 形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”.
【思维体操】

  例1. 已知AD是直角△ABC的斜边BC上的高，在△ADB及△ADC中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在DB，DA及DC，DA上，而两个正方形的第四个顶点E，F各在AB，AC上，求证：AE= AF.
揭示思路1：设∠ABC= α. 正方形EMDG与正方形DNFH的边长分别为a , b
  ∵AD = AG + DG = a•tgα + a
    AD = AH + DH = b•Ctgα+b
  ∴a tgα + a = b ctgα+b
  ∴ 
       = b•ctgα= AH.
  
  ∴AE = AF
揭示思路2：
设BC = a , 且∠ABC=α，则有
  AB = a cosα
  
  
  
同理：
  ∴AE = AF
由上两种思路证得AE= AF， 可发现用三角法研究几何问题，开门见山，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形.  便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的. 题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道. 为数与形结合提供了新的条件，我们应在这条新渠道不断探索，取得新的成果. 现沿这思路继续扩散.

扩散一：
如图，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上，求证：EF2 = BE•FC
揭示思路：从题设及图形中都可发现有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅.
在Rt△BDE中，
在Rt△GFC中，
    ∵∠B + ∠C =90°，∴tgB = tg(90°－ C) = ctgC
    ∴ 
    ∵DE = GF = EF
    ∴EF2 = BE•CF
扩散二：

    在△ABC外侧作正方形ABDM和ACEN， 过D，E向BC作垂线DF，EG，垂足分别为F，G，求证：BC = DF + EG
    提示思路：观察图形可发现直角三角形DFB及直角三角形EGC. 便萌生用三角法证明，可是此时DF，EG比较分散. 设法作AH⊥BC再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF，EG就有了联系. 此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到成功！
在Rt△EGC中，        
∴EG = b cosβ
在Rt△DBF中，同理，DF = c cosα（设b, c , α,β如图）
∴EG + DF = b Cosβ + c cosα
在 Rt△ABH中，BH = c cosα
在 Rt△ACH中，CH = b cosβ
∵BC = BH + CH , ∴BC = b cosβ + c cosα
∴BC = EG + DF
扩散三：

设顶角A = 108°的等腰三角形的高为h，∠A的三等分线及其外角的四等分线分别为P1，P2，求证：
揭示思路： 从图形中可发现有几个直角三角形存在，这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条件，不要犹豫，不然，将会失去良机.
如图，设△ABC的底边上的高AH = h , ∠A的三等分线AD= P1， ∠A的外角四等线AE = P2，∠BAC= 108°，AB = AC，
∴∠DAH = 18°
在Rt△ADH中，cos18°= 
∵ ∠CAE =  (180°－108°)= 18°
   ∠ACB = (180°－108°)= 36°
∴∠AEC = 18°
在Rt△AHE中，Sin18°= 

扩散四：

已知：如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为D、E、F.
求证：
揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可十分巧妙就证得结论.

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