初中数学《锐 角的三角函数值》教案

概要：设∠ABC = α，则∠DAF = ∠CDF= α扩散五：在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC = 20F揭示思路：观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地.∠BEF = ∠ACB + ∠EAC = 45°+∠BAE∵∠BFE= ∠CAE, ∴∠BEF = ∠BFE,∴BE = BF进而可知AD = DF设正方表ABCD边长为1，又设∠BAE = ∠CAE =α则OA= OB = 在Rt△ABE中，BE = AB•tgα= BFBF = OB－OF = OB － OA•tgα∴ABtgα= OB － OAtgα∴OF = OA•tgα= ( －1) EC= BC－BE =

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设∠ABC = α，则∠DAF = ∠CDF= α



扩散五：
在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC = 20F
揭示思路：观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地.
∠BEF = ∠ACB + ∠EAC = 45°+∠BAE
∵∠BFE= ∠CAE, ∴∠BEF = ∠BFE,
∴BE = BF
进而可知AD = DF
设正方表ABCD边长为1，又设∠BAE = ∠CAE =α
则OA= OB =  
在Rt△ABE中，BE = AB•tgα= BF
BF = OB－OF = OB － OA•tgα
∴ABtgα= OB － OAtgα

∴OF = OA•tgα=  ( －1)
  EC= BC－BE = 1－1•tgα= 1－ +1 = 2 －  =  ( －1)
∴EC = 20F
应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的长处. 把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明. 同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路.
三、智能显示
【动脑动手】
    1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，则SinB + CosB的值（    ）
     （A）大于1        （B）小于1
     （C）等于1        （D）不确定
    2. 在△ABC中，它的边角同时满足下列两个条件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx + 1 = 0的两个根，求a，b，c及S△ABC 
3.证明：“从平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线MN引垂线AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下图）
求证：AA＇ + CC＇=BB＇ + DD＇，现将直线MN向上移动，使得A点在直线的一侧，B、C、D三点在直线的另一侧（如中图），这时，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足为A＇B＇C＇D＇，那么垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间存在什么关系？如将直线MN再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）. 从A，B，C，D向直线MN作的垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间又有什么关系？根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明.
  
揭示思路：1. 在Rt△ABC中，∠C= 90°
由锐角三角函数定义，得


∵a + b > c

∴SinB + CosB > 1 , 应选A.
    2. ∵SinC = 1 , ∴∠C = 90°
       ∵SinA + CosB =  ,SinA CosB = 
     又A + B = 90°, ∴B = 90°－A
      ∴CosB = Cos(90°－A ) = SinA
     
     ∴c = 4 , A= 30°, a = 2 , b = 
    3. 猜想如下：

对于中图有：CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
对于右图有：CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇
证法1. 如图,设∠AEA＇= α,则AA＇= AESinα= (OA－OE)Sinα= OASinα－OESinα，又CC＇= CESinα= (OC + OE ) Sinα= (OA + OE ) Sinα = OASinα+ OESinα
∴CC＇－ AA＇= 2OESinα
∵OO＇= OESinα, ∴CC＇－ AA＇= 2OO＇
由题设知，OO’为梯形BB’D’D的中位线.

∴BB＇+ DD＇= 2OO＇
∴CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
（2）如图，仿（1）证法可得
CC＇－ AA＇= 2OESinα
DD＇－BB = 2OFSinβ
∵OESinα= OFSinβ,
∴CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇

证法二：（1）延长CB交MN于E，设AD与MN交于F， 又设∠AFA＇= α，则∠BEB＇= α，在Rt△EBB＇中，

∵BE= CE－ CB
∴BB＇= BESinα－ CBSinα
   在R t△ECC＇中，Sinα= ,
    ∴CC’= CESinα
∵CC＇－ BB＇= BCSinα
在Rt△AA＇F与Rt△FDD＇中.
AA＇= AFSinα,   DD＇= DFSinα
∵DF= AD － AF
∴DD＇= ADSinα－ AFSinA＇
∴DD＇= ADSinα－ AA＇
∴DD＇+ AA＇= ADSinα

∵AD= BC, ∴CC＇－ BB＇= DD＇+ AA＇
∴CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
（2）仿证法（1）同样可证得
CC＇+ BB＇= BCSinα
AA＇+ DD＇= ADSinα
∴CC＇+ BB＇= AA＇+DD＇，
∴CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇
证法三：（1）如图，作DE⊥CC＇， 则DD＇C＇E为矩形，∴CE= CC＇－ DD＇
设∠AFA＇= α， 则易知∠CDE= α  在Rt△CDE中，

∴CC＇－ DD＇= CDSinα
在Rt△AFA＇中， AA＇= AFSinα
在Rt△FBB＇中， BB＇= BFSinα
∴BB＇= (AB－ AF)Sinα= ABSinα－ AFSinα
∴AA＇+ BB＇= ABSinα
∵AB = CD, ∵AA＇+ BB＇= CC＇－ DD＇
∴CC＇－ AA＇= DD＇+ BB＇
（2）如图，仿（1）同法可证：
  CC＇－ AA＇= DD＇－BB＇
【创新园地】

已知△ABC中，∠BAC= 120°，∠ABC=15°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a, b ,c那么a：b：c = _________ （本结论中不含任何三角函数，但保留根号，请考虑多种解法）.
解法一：过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D.
∴∠BAC=120°，
∠ABC= 15°, ∴∠ACB= ∠DBC=45°,∠ABD= 30° 
在Rt△ABD中，Sin30°=     ∴AD=  c
Cos30°=  ，   ∴BD = 
∴b － BD － AD = 
a = 
∴ a：b：c = 
            =  

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