概要:21.2锐角的三角函数值一、教法设想:通过同学们经常使用的三角板,让同学们计算一下,当∠A=30°, ∠A=45°, 由于同学们所使用三角板大小不一,但他(她)们求得的比值都是 和 ,这是为什么呢?由相似三角形有关性质得出:在这些直角三角形中,锐角A取一个固定值,∠A的对边与斜边的比值仍是一个固定值,进而再引入正弦,余弦的概念,并向同学说明0< sinA < 1, 0< cosA< 1(∠A为锐角).再分别求出30°,45°,60°特殊三角函数值并应用其进行计算,进一步研究任意锐角的正弦值与余角的余弦值关系.根据30°,45°,60°正、余弦值分析,引导同学归纳出:当角度在0°—90°间变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);当角度在0°—90°间变化时,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大).适时介绍正弦和余弦表的构造. 结合实例进行查表,知其角度查正弦值或余
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21.2锐角的三角函数值
一、教法设想:
通过同学们经常使用的三角板,让同学们计算一下,当∠A=30°, ∠A=45°, 由于同学们所使用三角板大小不一,但他(她)们求得的比值都是 和 ,这是为什么呢?
由相似三角形有关性质得出:在这些直角三角形中,锐角A取一个固定值,∠A的对边与斜边的比值仍是一个固定值,进而再引入正弦,余弦的概念,并向同学说明0< sinA < 1, 0< cosA< 1(∠A为锐角).
再分别求出30°,45°,60°特殊三角函数值并应用其进行计算,进一步研究任意锐角的正弦值与余角的余弦值关系.
根据30°,45°,60°正、余弦值分析,引导同学归纳出:当角度在0°—90°间变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);当角度在0°—90°间变化时,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大).
适时介绍正弦和余弦表的构造. 结合实例进行查表,知其角度查正弦值或余弦值,反之亦然. 正确处理好修正值.
对学有余力的学生,也可适当介绍“sin2A+ cos2A = 1”这一重要关系式.
在学习正弦、余弦的概念后,再进一步学正切、余切较容易,可仿正弦、余弦的教法进行,对学有余力的学生也可讲授 这些重要关系式.
在教学中对0°,30°,45°,60°,90°的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记,为此,我们可分别列出表并编出口决让学生记易,省时易记.
表I:
三角函数 30° 45° 60°
Sinα
Cosα
tgα
口决:一,二,三,三,二,一,三九二十七.
表II.
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
Sinα
Cosα
tgα 0
1
──
ctgα ──
1
0
口决:0,一,二,三,四带根号,比上2要记牢.
第二行左右倒,三,四行靠推导.
【指点迷津】
本单元锐角三角函数的引进,使形与数紧密结合为一体,开辟了数形结合的新航向. 因此,在本单元教学中,务必注意数形结合思维方法的引导,应用. 用其法解决生活中的实际问题. 达到得心应手.
二、学海导航:
【思维基础】
1. 锐角三角函数定义
Rt△ABC中,∠C= 90°,AB= c,BC= a,AC= b, 则∠A的正弦,余弦,正切,余切分别是:SinA = ________ CosA =_______ tgA =________ CtgA= ________. 它们统称为∠A的锐角三角函数. (1)一锐角的三角函数值是四个_______;锐角三角函数都不可能取_________,且A为锐角时,SinA,CosA均在______~ ______内取值.
2. 特殊角的三角函数值(完成下表)
0° 30° 45° 60° 90° 增减值
Sinα
Cosα
tgα
ctgα
3. 互余角间的三角函数关系,△ABC中,∠C= 90°,A + B = 90°,∠B =90°-A,则有:
Sin(90°-A) = ___________
Cos(90°-A) = ___________
tg (90°-A) = ___________
Ctg(90°-A) = ___________.
4. 同角三角函数关系公式:(∠A为锐角).
(1)Sin2A + Cos2A = ___________; Cos2A = ___________, Sin2A = ____________.
【学法指要】
例1. 如果∠A为锐角,CosA= ,那么( )
A. 0°< A ≤30° B. 30°< A≤45°
C. 45°< A ≤60° D. 60°< A < 90°
思路分析:
当角度在0°~ 90°间变化时,余弦值随着角度的增大(或减少)而减小(或增大).
∴ 60°< A < 90° 应选D
例2. 当45°< X < 90°时,有( )
A. Sin x > Cos x > tg x B. tg x > Cos x > Sin x
C. Cos x > Sin x > tg x D. tg x > Sin x > Cos x
思路分析: ∵ 45°< x < 90° ∴ 取A = 60°
, ∴tg x > Sin x > Cos x
∴ 应选D
解选择题,采取特例法可出奇制胜,如本例取x = 60°在45°< x < 90°的范围内,很快可知Sin 60°,Cos 60°,tg60°的值,谁大谁小,相形见绌. 因之,在解决有关选择题时,根据题目的限制条件,灵活选取特殊值(也可画特殊图形,特殊点,特殊位置,特殊线等),可巧夺天工.
例3. 计算:
思咯分析:若a≠0时 , a0 = 1
对此项中的Sin36°是一项干扰支. 迷惑同学们,因为Sin36°,不是表内特殊值,求不出来,至使解题陷入僵局,其实不然. 不需要求Sin36°之值,只需要知道 即可. 因而,解题时,必须善于排除干扰支,解除困惑,准确使用数学概念,正确求出答案,对于特殊角三角函数值的计算,一. 要准确无误代入三角函数值;二. 要按照实数的运算法则进行运算;三. 运算的结果必须是最简关系式. 于是对上式便一目了然了.
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