概要: 二次曲线的中点弦有许多有趣的性质,下面介绍椭圆中点弦的斜率公式,利用它可起到事半功倍的效果.定理设有二次曲线的方程为 A、B两点在曲线上,M是弦AB的中点,O为坐标原点,则.证明设A、B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点M的坐标为().∵A、B两点在曲线上,∴两式相减得:整理得,又,.证毕.注特别地,当>0时,二次曲线为圆,显然OM⊥AB,有.例1过椭圆内一点D(1,0)引动弦AB,求弦AB的中点M的轨迹方程.解设动点M的坐标为(x,y),则由定理得整理得这就是点M的轨迹方程.例2设椭圆[1] [2] 下一页
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二次曲线的中点弦有许多有趣的性质,下面介绍椭圆中点弦的斜率公式,利用它可起到事半功倍的效果.
定理 设有二次曲线的方程为 A、B两点在曲线上,M是弦AB的中点,O为坐标原点,则
.
证明 设A、B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点M的坐标为().
∵A、B两点在曲线上,
∴
两式相减得:
整理得,
又,
.证毕.
注 特别地,当
>0时,二次曲线为圆,显然OM⊥AB,有
.
例1 过椭圆内一点D(1,0)引动弦AB,求弦AB的中点M的轨迹方程.
解 设动点M的坐标为(x,y),则
由定理得
整理得
这就是点M的轨迹方程.
例2 设椭圆
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