高三立体几何章末综合测试题

概要：11．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为() A．30° B．45° C．60° D．90°解析C还原正方体，如下图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.故选C.12．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1.其中真命题的个数是 ()A．1 B．2 C．3 D．4解析C易求得M、N到球心O的距离分别为OM＝3，ON＝2，若两弦交于M，则ON⊥MN，在Rt△ONM中，有ON<OM，符合题意，故①正确．若两弦交于N，同①推得，OM<ON，矛盾，故②错．当M、O、N共线，M、N在O同

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11．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为(　　)
           A．30°  
           B．45° 
           C．60°  
           D．90°
解析　C　还原正方体，如下图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.故选C.

12．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M；
②弦AB、CD可能相交于点N；
③MN的最大值为5；
④MN的最小值为1.
其中真命题的个数是  (　　)
A．1  B．2 
C．3   D．4
　解析　C　易求得M、N到球心O的距离分别为OM＝3，ON＝2，若两弦交于M，则ON⊥MN，在Rt△ONM中，有ON<OM，符合题意，故①正确．若两弦交于N，同①推得，OM<ON，矛盾，故②错．当M、O、N共线，M、N在O同侧，则MN取最小值1；M、N在O两侧，则MN取最大值5，故③④正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横 线上)
13. 如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

　解析　∵FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)
【答案】　M位于线段FH上
14．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m∥n，②α∥β，③m⊥α，④n⊥β，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
　解析　同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行．
【答案】　②③④⇒①
15．已知命题：“若x⊥y，y∥z，则x⊥z”成立，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线；②都是平面；③x，y是直线，z是平面；④x，z是平面，y是直线．上述判断中，正确的有________(请将你认为正确的序号都填上)．
　解析　当字母x，y，z都表示直线时，命题成立；当字母x，y，z都表示平面时，命题也成立；当x，z表示平面，y表示直线时，由相关的判定定理知命题也成立；
当x，y表示直线，z表示平面时，x⊥z不一定成立，还有可能x∥z或x与z相交，故①②④正确，③不正确．
【答案】　①②④
16．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．

　解析　如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB、OC，则OC⊥l.设AB与β所成角为θ，

则∠ABO＝θ ，由图得sin θ＝AOAB＝ACAB•AOAC＝sin 30°•sin 60°＝34.
【答案】　34
三、解答题(本大 题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．

(1)求证：平面ACD⊥平面ABC; 
(2)求三棱锥 A－BCD的体积．
　解析　(1)∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.
又BC⊥CD， 且AE∩BC＝E，
∴CD⊥平面ABC.
又CD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)由(1)知，CD⊥平面ABC，
又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB.
又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，
∴AB⊥平面ACD.
∴VA－BCD＝VB－ACD＝13•S△ACD•AB.
又∵在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
∴AC＝AD2－CD2＝42－32＝7.
∴VA－BCD＝13×12×7×3×3＝372.
18．(12分)如图，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB＝2BF，DE⊥平面ABCD，G为EF的中点．
(1)求证：CF∥平面ADE；
(2)求证：平面ABG⊥平面CDG；
(3)求二面角C－FG－B的余弦值．
　解析　(1)∵BF∥DE，BC∥AD，BF∩BC＝B，DE∩AD＝D，∴平面CBF∥平面ADE.
又CF⊂平面CBF，
∴CF∥平面ADE.
(2)如图，取AB的中点M，CD的中点N，连接GM、GN、MN、AC、BD，设AC、MN、BD交于O，连接GO.
∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，
AB＝2BF，DE⊥平面ABCD，G为EF的中点，
则GO⊥平面ABCD，GO＝12MN，
∴GN⊥MG.
又GN⊥ DC，AB∥DC，
∴GN⊥AB.
又AB∩MG＝M，
∴GN⊥平面GAB.
又GN⊂平面CDG，
∴平面ABG⊥平面CDG.
(3)由已知易得CG⊥FG，由(2)知GO⊥EF，
∴∠CGO为二面角C－FG－B的平面角，
∴cos ∠CGO＝GOGC＝33.
19．(12分)(2011•南昌二模)如图所示的多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.
(1)若O是AB的中点，求证：OC1⊥A1B1；
(2)求平面AB1C1与平面A1B1C1所成的角的余弦值．
　解析　(1)设线段A1B1的中点为E，连接OE，C1E.
由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AB，
又BB1∥AA1且AA1＝BB1，
所以AA1B1B是矩形．
又点O是线段AB的中点，
所以OE∥AA1，所以OE⊥A1B1.
由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AC，A1A⊥BC.
又BB1∥AA1∥CC1，
所以BB1⊥BC，CC1⊥AC，CC1⊥BC，
且AC＝BC＝4，AA1＝BB1＝4，CC1＝2，

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