巧用圆锥曲线的范围解题 人教选修1-1

概要： 椭圆方程中x,y的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，离心率e的范围是０＜e＜１．这些取值范围在解题中有不平凡的功效，兹举例如下：例１Ｆ１、Ｆ２是椭圆的两个焦点，Ｐ是椭圆上任意一点，则的最小值是＿＿＿．（第七届“希望杯”赛题）解由椭圆范围知－２≤x≤２，设Ｐ点的坐标是（x0,y0）,则－２≤x0≤２，由焦半径公式知（其中）故等号当且仅当x0=2或－２时取得，故的最小值为１．例２已知椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点是Ａ、Ｂ，若Ｃ上存在点Ｑ，使∠ＡＱＢ＝１２０°，求曲线Ｃ的离心率的取值范围．解设Ｑ（x0,y0），由椭圆的对称性，不妨设Ｑ在x轴上方，即０＜y0≤b．∵∴tgＡＱＢ＝代入整理得（１）又Ｑ点在椭圆上，故（２）由（１）、（２）知∴由于y0＝０时Ｑ与Ａ或Ｂ重合，故舍去．∴[1] [2] 下一页

椭圆方程中x,y的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，离心率e的范围是０＜e＜１．这些取值范围在解题中有不平凡的功效，兹举例如下：

例１　Ｆ_１、Ｆ_２是椭圆的两个焦点，Ｐ是椭圆上任意一点，则的最小值是＿＿＿．（第七届“希望杯”赛题）

解　由椭圆范围知－２≤x≤２，设Ｐ点的坐标是（x₀,y₀）,则－２≤x₀≤２，由焦半径公式知（其中）

故

等号当且仅当x0=2或－２时取得，故的最小值为１．

例２　已知椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点是Ａ、Ｂ，若Ｃ上存在点Ｑ，使

∠ＡＱＢ＝１２０°，求曲线Ｃ的离心率的取值范围．

解　设Ｑ（x₀,y₀），由椭圆的对称性，不妨设Ｑ在x轴上方，即０＜y₀≤b．

∵

∴tgＡＱＢ＝代入整理得

　　　　　　（１）

又Ｑ点在椭圆上，故　　　　　（２）

由（１）、（２）知

∴

由于y0＝０时Ｑ与Ａ或Ｂ重合，故舍去．

∴

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