概要： 对椭圆及其标准方程熟练掌握的基础上，我们要不断深入学习，要灵活地将椭圆的定义及其标准方程应用于其他与椭圆有关的问题中，这就要求我们在教学中必须注意对学生拓展思维能力的培养.下面，试举几例说明：［例1］过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是多少？解：根据题意画出图形∵|AF1|+|AF2|=2|BF1|+|BF2|=2∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4即|AB|+|AF2|+|BF2|=4［例2］如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长为多少？解：根据题意画出图形，其中F2是椭圆的另一个焦点，由椭圆定义得：|MF2|+|MF1|=2×5=10又|MF1|=2，∴|MF2|=8∵ON是△MF1F2的中位线∴|ON|=4评述：对于例1可以通过分别求出A、B两点的坐标从而求出△ABF2的周长.对于例2可以通过求M点坐标，再求N点坐标，从
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对椭圆及其标准方程熟练掌握的基础上，我们要不断深入学习，要灵活地将椭圆的定义及其标准方程应用于其他与椭圆有关的问题中，这就要求我们在教学中必须注意对学生拓展思维能力的培养.
下面，试举几例说明：
［例1］过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是多少？
解：根据题意画出图形
∵|AF1|+|AF2|=2
|BF1|+|BF2|=2
∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4
即|AB|+|AF2|+|BF2|=4
［例2］如果椭圆
上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长为多少？
解：根据题意画出图形，其中F2是椭圆的另一个焦点，由椭圆定义得：
|MF2|+|MF1|=2×5=10
又|MF1|=2，∴|MF2|=8
∵ON是△MF1F2的中位线
∴|ON|=4
评述：对于例1可以通过分别求出A、B两点的坐标从而求出△ABF2的周长.对于例2可以通过求M点坐标，再求N点坐标，从而求ON的长度.但通过利用定义求出结果的这种方法可以使我们去繁就简，其巧妙之处大家也深有感触.可见寻求简捷的解法应成为我们不断探索的动力.
［例3］已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任一点.
（1）若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积.
(2)求|PF1|·|PF2|的最大值.
分析：（1）如果设P（x,y），由P点在已知椭圆上且∠F1PF2=,利用这两个条件，列出关于x,y的两个方程，解出x,y，再求△F1PF2的面积，这种思路虽简单清晰，但运算量大，过程繁琐，须另寻捷径，不妨利用椭圆定义去求，如果考虑到∠F1PF2=
，和三角形面积公式S=
absinC,只要求得|PF1|·|PF2|问题就可以解决了.
(2)继续利用椭圆定义及均值不等式定理即可求出|PF1|·|PF2|的最大值.
解：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，根据椭圆定义，有m+n=20，在△F1PF2中，由余弦定理可得：
m2+n2-2mncos=122
∴m2+n2-mn=144
∴(m+n)2-3mn=144
∴20
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