导数题的解题技巧

概要： 考点3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以"导数"为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值); 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7.(2006年天津卷)函数 的定义域为开区间 ,导函数 在 内的图象如图所示,则函数 在开区间 内有极小值点( ) A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 [考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间 内的图象上有一个极小值点. 故选A. 例8 .(2007年全国一)设函数 在 及 时取得极值. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ

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    考点3  导数的应用
    中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以"导数"为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
    1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);
    5.构造函数证明不等式.
    典型例题
    例7.(2006年天津卷)函数 的定义域为开区间 ,导函数 在 内的图象如图所示,则函数 在开区间 内有极小值点( )
    A.1个
    B.2个
    C.3个
    D. 4个
    [考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
    [解答过程]由图象可见,在区间 内的图象上有一个极小值点.
    故选A.
    例8 .(2007年全国一)设函数 在 及 时取得极值.
    (Ⅰ)求a、b的值;
  (Ⅱ)若对于任意的 ,都有 成立,求c的取值范围.
    思路启迪:利用函数 在 及 时取得极值构造方程组求a、b的值.
    解答过程:(Ⅰ) ,
    因为函数 在 及 取得极值,则有 , .
    即
    解得 , .
    (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,
    .
    当 时, ;
    当 时, ;
    当 时, .
    所以,当 时, 取得极大值 ,又 , .
    则当 时, 的最大值为 .
    因为对于任意的 ,有 恒成立,
    所以  ,
    解得  或 ,
    因此 的取值范围为 .
    例9.函数 的值域是_____________.
    思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
    解答过程:由 得, ,即函数的定义域为 .
    ,
    又 ,
    当 时, ,
    函数 在 上是增函数,而 , 的值域是 .
    例10.(2006年天津卷)已知函数 ,其中 为参数,且 .
    (1)当时 ,判断函数 是否有极值;
    (2)要使函数 的极小值大于零,求参数 的取值范围;
    (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ,函数 在区间 内都是增函数,求实数 的取值范围.
    [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.
    [解答过程](Ⅰ)当 时, ,则 在 内是增函数,故无极值.
    (Ⅱ) ,令 ,得 .
    由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
    ①当  时,随x的变化 的符号及 的变化情况如下表:
    x 
    0 
    + 0 - 0 +
    ↗ 极大值
    ↘ 极小值 ↗
    因此,函数 在 处取得极小值 ,且 .
    要使 ,必有 ,可得 .
    由于 ,故 .
    ②当时 ,随x的变化, 的符号及 的变化情况如下表:
    + 0 - 0 +
    极大值 
    极小值   因此,函数 处取得极小值 ,且
    若 ,则 .矛盾.所以当 时, 的极小值不会大于零.
    综上,要使函数 在 内的极小值大于零,参数 的取值范围为 .
    (III)解:由(II)知,函数 在区间 与 内都是增函数。
    由题设,函数 内是增函数,则a须满足不等式组
    或    
    由(II),参数时 时, .要使不等式 关于参数 恒成立,必有 ,即 .
    综上,解得 或 .
    所以 的取值范围是 .
    例11.(2006年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a -1,求f(x)的单调区间.
    [考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
    [解答过程]由已知得函数 的定义域为 ,且
    (1)当 时, 函数 在 上单调递减,
    (2)当 时,由 解得
    、 随 的变化情况如下表
    - 0 +
    极小值   从上表可知
    当 时, 函数 在 上单调递减.
    当 时, 函数 在 上单调递增.
    综上所述:当 时,函数 在 上单调递减.
    当 时,函数 在 上单调递减,函数 在 上单调递增.
    例12.(2006年北京卷)已知函数 在点 处取得极大值 ,其导函数 的图象经过点 , ,如图所示.求:

www.88haoxue.com     (Ⅰ) 的值;
    (Ⅱ) 的值.
    [考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
    [解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在 上  ,在 上 ,在 上 ,

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