导数题的解题技巧

概要： 故 在 上递增,在 上递减, 因此 在 处取得极大值,所以 (Ⅱ) 由 得 解得 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设 又 所以 由 即 得 所以 例13.(2006年湖北卷)设 是函数 的一个极值点. (Ⅰ)求 与 的关系式(用 表示 ),并求 的单调区间; (Ⅱ)设 , .若存在 使得 成立,求 的取值范围. [考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力. [解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x, 由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a, 则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x =-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x. 令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点, 所以x+a+1≠0

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    故 在 上递增,在 上递减,
    因此 在 处取得极大值,所以
    (Ⅱ)
    由
    得
    解得
    解法二:(Ⅰ)同解法一
    (Ⅱ)设
    又
    所以
    由 即 得
    所以
    例13.(2006年湖北卷)设 是函数 的一个极值点.
    (Ⅰ)求 与 的关系式(用 表示 ),并求 的单调区间;
    (Ⅱ)设 , .若存在 使得 成立,求 的取值范围.
    [考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
    [解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
    由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,
    则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x
    =-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
    令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
    所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
    当a<-4时,x2>3=x1,则
    在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
    在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
    在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
    当a>-4时,x2<3=x1,则
    在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
    在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
    在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
    那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
    又 在区间[0,4]上是增函数,
    且它在区间[0,4]上的值域是[a2+ ,(a2+ )e4],
    由于(a2+ )-(a+6)=a2-a+ =( )2≥0,所以只须仅须
    (a2+ )-(a+6)<1且a>0,解得0<a< .
    故a的取值范围是(0, ).
    例14 (2007年全国二)
    已知函数
    在 处取得极大值,在 处取得极小值,且 .
    (1)证明 ;
    (2)若z=a+2b,求z的取值范围。
    [解答过程]求函数 的导数 .
    (Ⅰ)由函数 在 处取得极大值,在 处取得极小值,知 是 的两个根.
    所以
    当 时, 为增函数, ,由 , 得 .
    (Ⅱ)在题设下, 等价于  即 .
    化简得 .
    此不等式组表示的区域为平面 上三条直线: .
    所围成的 的内部,其三个顶点分别为: .
    在这三点的值依次为 .
    所以 的取值范围为 .
    小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性
    规划有机结合.
    考点4 导数的实际应用
    建立函数模型,利用
    典型例题
    例15. (2007年重庆文)
    用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
    [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
    [解答过程]设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
    .
    故长方体的体积为
    从而
    令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
    当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x< 时,V′(x)<0,
    故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。
    从而最大体积V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.
    答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3。
    例16.(2006年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
    油量 (升)关于行驶速度 (千米/小时)的函数解析式可以表示为:
    已知甲、乙两地相距100千米.
    (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
    (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
    [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
    [解答过程](I)当 时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,
    要耗没 (升).

www.88haoxue.com     答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
    (II)当速度为 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为 升,依题意得
    令 得
    当 时, 是减函数;当 时, 是增函数.
    当 时, 取到极小值
    因为 在 上只有一个极值,所以它是最小值.
    答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.

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