概率统计的解题技巧

概要： (Ⅱ) p1- p2= ab+bc+ca-2abc- (ab+bc+ca)= ( ab+bc+ca-3abc) ≥ = . ∴p1≥p2 例11.(2007年陕西卷文) 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 、 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率. (注:本小题结果可用分数表示) [考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力. [解答过程](Ⅰ)记"该选手能正确回答第 轮的问题"的事件为 ,则 , , , , 该选手进入第四轮才被淘汰的概率 . (Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率 . 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量

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    (Ⅱ) p1- p2= ab+bc+ca-2abc-  (ab+bc+ca)=  ( ab+bc+ca-3abc)
    ≥ = .
    ∴p1≥p2
    例11.(2007年陕西卷文)
    某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 、 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
    (Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
    (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率. (注:本小题结果可用分数表示)
    [考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.
    [解答过程](Ⅰ)记"该选手能正确回答第 轮的问题"的事件为 ,则 , , , ,
    该选手进入第四轮才被淘汰的概率 .
    (Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率
    .
    考点2离散型随机变量的分布列
    1.随机变量及相关概念
    ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.
    ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
    ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.
    2.离散型随机变量的分布列
    ①离散型随机变量的分布列的概念和性质
    一般地,设离散型随机变量 可能取的值为 , ,……, ,……, 取每一个值 ( 1,2,……)的概率P( )= ,则称下表.
    … 
    …
    P P1 P2 … 
    …
    为随机变量 的概率分布,简称 的分布列.
    由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:
    (1) , 1,2,…;(2) …=1.
    ②常见的离散型随机变量的分布列:
    (1)二项分布
    次独立重复试验中,事件A发生的次数 是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…n,并且 ,其中 , ,随机变量 的分布列如下:
    0 1 … 
    …   P 
    … 
    称这样随机变量 服从二项分布,记作 ,其中 、 为参数,并记:  .
    (2) 几何分布
    在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随机变量," "表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
    随机变量 的概率分布为:
    1 2 3 … k …
    P p qp 
    … 
    …
    例12.(2007年四川卷理)
    厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
    (Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;
    (Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数 的分布列及期望 ,并求出该商家拒收这批产品的概率.
[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
    [解答过程](Ⅰ)记"厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品"为事件A
    用对立事件A来算,有
    (Ⅱ) 可能的取值为 .
    ,
    ,
    .
    记"商家任取2件产品检验,都合格"为事件B,则商家拒收这批产品的概率
    .
    所以商家拒收这批产品的概率为 .
    例13.(2007年陕西卷理)
    某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
    (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;
    (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ,求随机变量 的分布列与数学期望.
    (注:本小题结果可用分数表示)
    [考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
    [解答过程]解法一:(Ⅰ)记"该选手能正确回答第 轮的问题"的事件为 ,则 , , ,
    该选手被淘汰的概率
    .
    (Ⅱ) 的可能值为 , ,
    ,
    .
    的分布列为
    1 2 3

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    解法二:(Ⅰ)记"该选手能正确回答第 轮的问题"的事件为 ,则 , , .
    该选手被淘汰的概率  .
    (Ⅱ)同解法一.
    考点3  离散型随机变量的期望与方差
    随机变量的数学期望和方差

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