概率统计的解题技巧

概要： 例19.考查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下: 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 ⑴作出频率分布表;⑵画出频率分布直方图. 思路启迪:确定组距与组数是解决"总体中的个体取不同值较多"这类问题的出发点. 解答过程:⑴最低身高为151,最高身高180,其差为180-151=29。确定组距为3,组数为10,列表如下: ⑵频率分布直方图如下: 小结: 合理、科学地确定组距和组数,才能准确地制表及绘图,这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功. 估计总体分布的基本功。 考点5 正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质 (1)正态分布的概

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    例19.考查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
    171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
    171 169 167 169 151 168 170 160 168 174
    165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
    176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
    ⑴作出频率分布表;⑵画出频率分布直方图.
    思路启迪:确定组距与组数是解决"总体中的个体取不同值较多"这类问题的出发点.
    解答过程:⑴最低身高为151,最高身高180,其差为180-151=29。确定组距为3,组数为10,列表如下:
    ⑵频率分布直方图如下:
    小结: 合理、科学地确定组距和组数,才能准确地制表及绘图,这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功.
    估计总体分布的基本功。
    考点5  正态分布与线性回归
    1.正态分布的概念及主要性质
    (1)正态分布的概念
    如果连续型随机变量  的概率密度函数为      ,x   其中 、 为常数,并且 >0,则称 服从正态分布,记为 ( , ).
    (2)期望E  =μ,方差 .
    (3)正态分布的性质
    正态曲线具有下列性质:
    ①曲线在x轴上方,并且关于直线x=μ对称.
    ②曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.
    ③曲线的对称轴位置由μ确定;曲线的形状由 确定, 越大,曲线越"矮胖";反之越"高瘦".
    (4)标准正态分布
    当 =0, =1时 服从标准的正态分布,记作 (0,1)
    (5)两个重要的公式
    ① ,②  .
    (6) 与 二者联系.
    ① 若 ,则   ;
    ②若 ,则 .
    2.线性回归
    简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.
    变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.
    具体说来,对n个样本数据( ),( ),…,( ),其回归直线方程,或经验公式为: .其中 ,其中 分别为| |、| |的平均数.
    例20.如果随机变量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=1,则P(-1<ξ≤1=等于(   )
    A.2Φ(1)-1                  B.Φ(4)-Φ(2)
    C.Φ(2)-Φ(4)                 D.Φ(-4)-Φ(-2)
    解答过程:对正态分布,μ=Eξ=3,σ2=Dξ=1,故P(-1<ξ≤1)=Φ(1-3)-Φ(-1-3)=Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2).
    答案:B
    例21. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d ℃,液体的温度ξ(单位:℃)是一个随机变量,且ξ~N(d,0.52).
    (1)若d=90°,则ξ<89的概率为     ;
    (2)若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99,则d至少是     ?(其中若η~N(0,1),则Φ(2)=P(η<2)=0.9772,Φ(-2.327)=P(η<-2.327)=0.01).
    思路启迪:(1)要求P(ξ<89)=F(89),
    ∵ξ~N(d,0.5)不是标准正态分布,而给出的是Φ(2),Φ(-2.327),故需转化为标准正态分布的数值.
    (2)转化为标准正态分布下的数值求概率p,再利用p≥0.99,解d.
    解答过程:(1)P(ξ<89)=F(89)=Φ( )=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228.
    (2)由已知d满足0.99≤P(ξ≥80),
    即1-P(ξ<80)≥1-0.01,∴P(ξ<80)≤0.01.
    ∴Φ( )≤0.01=Φ(-2.327).
    ∴ ≤-2.327.
    ∴d≤81.1635.
    故d至少为81.1635.
    小结:(1)若ξ~N(0,1),则η= ~N(0,1).(2)标准正态分布的密度函数f(x)是偶函数,x<0时,f(x)为增函数,x>0时,f(x)为减函数.
    例22.设 ,且总体密度曲线的函数表达式为: ,x∈R.
    (1)则μ,σ是     ;(2)则 及 的值是     .
    思路启迪: 根据表示正态曲线函数的结构特征,对照已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体 与标准正态总体N(0,1)概率间的关系,将一般正态总体划归为标准正态总体来解决.

www.88haoxue.com     解答过程:⑴由于 ,根据一般正态分布的函数表达形式,可知μ=1, ,故X~N(1,2).
    .
    又
    .
    小结:通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.
    例23. 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的,如果某地成年男子的身高ε~N(173,7)(单位:cm),则车门应设计的高度是     (精确到1cm)?
    思路启迪:由题意可知,求的是车门的最低高度,可设其为xcm,使其总体在不低于x的概率小于1%.

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